可以请半年病假的疾病包括 恶性肿瘤、急性心肌梗塞、脑中风后遗症、重大器官移植术或造血干细胞移植术、冠状动脉搭桥术等。此外，对于病情严重的患者，且医疗期在三个月及以上的疾病，病假可以请半年。常见的严重疾病还包括急性心肌梗死和脑出血。

需要注意的是，具体病假时间可能会受到个人实际参加工作年限和在本单位工作年限的影响，根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，医疗期可以从三个月到二十四个月不等。

请根据个人病情和医生的建议，合理申请病假。