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什么是线性微分方程:一阶线性微分方程式的基础原理分享

100次浏览     发布时间:2024-08-22 17:45:49    

一阶线性微分方程式是微分方程中最简单的也是基本的,虽然看上去比较枯燥,但其背后的数学原理值得我们去学习和借鉴,本篇就来学习和探讨下。希望对大家有所帮助。

设一阶微分方程式

的右端函数f(x,y)关于y是一次线性的,设其中函数a(x)与b(y)在区间α<x<β上是连续的,此时,相应的微分方程可以写成

像这类的微分方程称之为一阶线性微分方程,不是线性的微分方程称之为非线性微分方程。

下面的一阶微分方程式叫做一阶线性微分方程式

下面的一阶微分方程式叫做非线性微分方程式

本篇内容是求解一阶线性微分方程式(1)

设b(x)=0,则线性微分方程式(1)变成

2)式称之为齐次线性微分方程式,这个方程也是变量分离的方程,因此,采用变量法求出它的通解为(伙伴们可以试着去算下,很简单的)

其中C是一个任意常数,为了诱导出一般线性微分方程(1)的解法,我们对齐次线性微分方程(2)的通解做一点分析,上式写成

再对x求导数,即得

令如下式子

则得:

或得到:

由于μ(x)不等于0,所以得到

这个微分方程实际上就是齐次线性微分方程式(2),因此如果把上面的步骤逆推而上,那么就得到线性微分方程式(7)的一种新的解法,即:根据(7),用函数μ(x)(线性微分方程7的积分因子)乘以(7)的两端,即得方程(6),从而方程(5)成立,再取不定积分,就得到微分方程(7)的通积分(4),用这种积分因子乘方程的方法求解齐次线性微分方程式,其优点是可以用类似的程序求解一般的线性微分方程式(1)。

2)设b(x)不等于0,则称线性微分方程式(1)为非齐次的,为了采用上述的积分因子法,我们把(1)写成与它等价的形式

再用积分因子

乘以方程(8)的两端,则得

亦的

两边取积分,则得到通积分

其中C是任意常数,因此,方程(8)的通解为

例子:求解如下微分方程式

其中K,ω,p都是正的常数。

这是一个非齐次的一阶线性微分方程式,它的积分因子为

用它乘微分方程式的两端,则得到

再取不定积分,得

从而求得微分方程式的通解为

再通过对右边不定积分的计算,则得

其中C是任意常数。


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