根据《刑事诉讼法》的规定，监视居住的执行机关为 公安机关。尽管人民检察院和人民法院也有权决定监视居住，但实际执行工作通常由公安机关负责。对于涉嫌危害国家安全犯罪的案件，国家安全机关也会参与执行。

具体执行过程中，公安机关需要遵守《刑事诉讼法》中关于监视居住的具体规定，如执行地点、被监视居住人的义务以及执行过程中的监督等。同时，人民检察院对指定居所监视居住的决定和执行实行监督。